因数分解の定番公式！a³+b³とa³+b³+c³-3abcを攻略

こんにちは、じゃがいも先生の数学畑へようこそ！🥔

今日は高校数学でよく出てくる『a³ + b³ の公式を利用した因数分解』について一緒に学んでいきましょう！

📝 この記事で学べること
✓ a³ + b³ + c³ – 3abc の因数分解と応用
✓ 因数分解が得意になるポイント

a³+b³+c³-3abc の因数分解

\(\bbox[#ffffff, 5pt, border: 2px solid black]{\mathbf 問題}\)
\(\sf a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) を利用して、\(\sf a^3+b^3+c^3-3abc\) を因数分解せよ。

📝 解き方の流れ

１．公式に近づけるために変形する
２．因数でまとめる（くくる）

📝 具体的な解答

解答）
\begin{align}
&\bbox[#F5E6CC, 5pt, border: 3px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{a^3+b^3}}\sf +c^3-3abc\\
=\ &\bbox[#F5E6CC, 5pt, border: 3px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{(a+b)^3-3ab(a+b)}}\sf +c^3-3abc\\
=\ &\bbox[#fdfdfd,5pt]{\sf (a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc}\\
&\bbox[#fdfdfd,5pt]{ここで\ \sf a+b\ を\ \sf A\ とおく}\\
=\ &\sf \bbox[#F5E6CC, 5pt, border: 3px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{A^3+c^3}}-3ab(a+b+c)\\
=\ &\sf \bbox[#F5E6CC, 5pt, border: 3px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{(A+c)^3-3Ac(A+c)}}-3ab(a+b+c)\\
&\bbox[#fdfdfd,5pt]{そして\ \sf A\ を戻す}\\
=\ &\bbox[#fdfdfd,5pt]{\sf (a+b+c)^3\textcolor{#D32F2F}{-3(a+b)c}(a+b+c)\textcolor{#D32F2F}{-3ab}(a+b+c)}\\
&\bbox[#fdfdfd,5pt]{さらに\ \sf \ (a+b+c)\ で\ くくる}\\
=\ &\bbox[#fdfdfd,5pt]{\sf (a+b+c)\left\{(a+b+c)^2\textcolor{#D32F2F}{-3(a+b)c-3ab}\right\}}\\
=\ &\bbox[#fdfdfd,5pt]{\sf (a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ac-3bc-3ab)}\\
=\ &\bbox[#fdfdfd,5pt]{\sf (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}\\
\end{align}

パッと見ただけでは、なかなか因数分解できないよ…と思う方も多いかもしれません。
初めて見たときに解けなくても、まったく問題ありません！同じ問題を何度も解き直して、少しずつ慣れていきましょう！練習が一番の近道ですからね。

練習問題にチャレンジ！

上で学んだ\(\sf a^3+b^3+c^3-3abc\) の因数分解公式を使って、次の問題を解いてみましょう。

\(\bbox[#ffffff, 5pt, border: 2px solid black]{\mathbf 練習問題}\)
\(\sf a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\) を使って、
次の式を因数分解しましょう。
(1) \(\sf a^3+b^3-c^3+3abc\)
(2) \(\sf 27x^3-y^3+9xy+1\)

📝 解答編 （１）

\(\sf a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
の \(\sf c\) を \(\sf -c\) に変えたパターンとして考えよう！

解答）
\begin{align}
&\sf a^3+b^3-c^3+3abc\\
=\ &\sf a^3+b^3+\left(\bbox[#F5E6CC, 3pt, border: 0px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{-c}}\sf\right)^3 -3ab\left(\bbox[#F5E6CC, 3pt, border: 0px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{-c}}\sf\right)\\
=\ &\sf \left\{a+b+\left(\bbox[#F5E6CC, 3pt, border: 0px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{-c}}\sf\right)\right\}\left\{a^2+b^2+\left(\bbox[#F5E6CC, 3pt, border: 0px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{-c}}\sf\right)^2-ab-b\left(\bbox[#F5E6CC, 3pt, border: 0px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{-c}}\sf\right)-\left(\bbox[#F5E6CC, 3pt, border: 0px solid #3A6B35]{\sf \textcolor{#3E2723}{-c}}\sf\right)a\right\}\\
=\ &\sf (a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc-ca)
\end{align}

📝 解答編 （２）

①　\(\sf 27x^3-y^3+9xy+1 = (3x)^3+(-y)^3+1^3+9xy \) と変形しよう！

②　公式 \(\sf a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
　　に　\(\sf a=3x\ ，b=-y\ ， c=1 \)　を代入しよう！

解答）
\begin{align}
&\sf 27x^3-y^3+9xy+1\\
\\
=\ &\sf(3x)^3+(-y)^3+1^3+9xy\\
\\
=\ &\sf(3x)^3+(-y)^3+1^3-3\cdot3x\cdot(-y)\cdot1\\
\\
=\ &\sf\left\{(3x)+(-y)+1\right\}\left\{(3x)^2+(-3y)^2+1^2-(3x)(-y)-(-y)\cdot1-1\cdot(3x)\right\}\\
\\
=\ &\sf(3x-y+1)(9x^2+y^2+1+3xy-3x+y)\\
\end{align}

📝 まとめ

✓ 応用問題も公式の基本に立ち返ると解ける
✓ 因数分解は『まとまり』を見つけるのがカギ

そして、 「初めて見る問題は、解けなくても大丈夫。」 「同じ問題をもう一度解いてみることが、力になります！」

それじゃあ、また次の畑で会いましょう！🥔✨