こんにちは、じゃがいも先生の数学畑へようこそ！
今回は高校数学でよく出てくるテーマ、「絶対値の外し方と場合分けのコツ」を詳しく解説します。
絶対値ってなんとなく苦手…
いつも「場合分け」って言われるけど、どんなときに必要なの？
そんな悩みをスッキリ解決します！
🔍 絶対値を外すときに「場合分け」が必要な3つのケースとは？
絶対値を外すとき、「場合分け」が必要になるのは、次の3つの場合です。
１. 絶対値の中に文字（xなど）があり、その外に他の文字や式があるとき
２. 絶対値が2つ以上あるとき
３. 絶対値そのものを外す問題
単純な \(|x|=5\) のような式では、場合分けは不要です。
でも、文字式が絡んでくると値によって意味が変わるため、場合分けが必要になるんです！
🤔 絶対値とは？高校数学の基本をおさらい
絶対値 \(|○|\) は、「数直線上の0からの距離」を表すもので、常に0以上の値になります。
例えば、
- \(|x|=3\) → \(x=3 \ \ または \ \ x=-3\)
- \(|x|<3\) → \(-3<x<3\)
- \(|x|>3\) → \(x<-3 \ \ または \ \ x>3\)
のように、「正か負か」の2つの可能性が出てくるんです。
式が単純なときは、直接このルールで解けます。
ところが！式の中に \(x\) があって、その外にも \(x\) がいたり、絶対値が2個あったりすると、
どの値のときにどっちの符号になるか？
がパッと見ではわからないんです。だから、\(x\) の値によって場合を分けて考える必要が出てくるのです！
✅ 【例題】絶対値の外し方と場合分けの流れを完全マスター！
以下の例題で、場合分けの考え方と計算手順を身につけましょう！
◆ 例題1：|x – 2| = 5【定数との等式 → 場合分けなし】
これは定数（数字）との等式なので、場合分けは不要！
解き方
\begin{align}
\sf |x-2|&\sf=5\\
\\
\sf x-2&\sf=\pm5\\
\\
\sf x&\sf=2\pm5\\
\end{align}
よって、x = 7 または x = -3
◆ 例題2：|x – 2| = x + 5【文字との等式 → 場合分け必要！】
右辺に x があり、x の値によって絶対値を外すときの符号が変わります。ここは要注意！
場合分けの流れ
① x – 2 ≧ 0（x ≧ 2）のとき
\begin{align}
\sf |x-2|&\sf=x+5\\
\\
\sf x-2&\sf=x+5\\
\\
\sf -2&\sf=5\qquad❌\sf（成り立たない）
\end{align}
② x – 2 < 0（x < 2）のとき
\begin{align}
\sf |x-2|&\sf=x+5\\
\\
\sf -(x-2)&\sf=x+5\\
\\
\sf -x+2&\sf=x+5\\
\\
\sf -2x&\sf=3\\
\\
\sf x&=\sf -\frac{3}{2}\qquad⭕\sf （条件 x < 2を満たす）
\end{align}
答え：\(x = -\dfrac{3}{2}\)
◆ 例題3：|x – 2| > x + 3【不等式 × 文字 → 場合分け必要】
絶対値が不等式で、しかも右辺に文字あり。値の大小関係が変わるため、場合分け必須！
場合分けの流れ
① x – 2 ≧ 0（x ≧ 2）のとき
\begin{align}
\sf|x–2|&\sf>x+3\\
\\
\sf x-2&\sf>x+3\\
\\
\sf -2&\sf>3\qquad❌\sf（成り立たない）
\end{align}
② x – 2 < 0（ x < 2）のとき
\begin{align}
\sf|x–2|&\sf>x+3\\
\\
\sf -(x-2)&\sf>x+3\\
\\
\sf -2x&\sf>1\\
\\
\sf x&\sf<-\frac{1}{2}\qquad⭕\sf （条件 x<2を満たす）
\end{align}
答え： \(x < -\dfrac{1}{2}\)
◆ 例題4：|x – 2| + |x – 4| = 3【絶対値が2つ → 境目で場合分け】
絶対値が2つあるときは、「境界点（中身が0になる点）」で場合分けするのが鉄則！
この式では、x = 2, x = 4 が境界です。
3つの範囲で場合分け
① x < 2 のとき
\begin{align}
\sf |x-2|&\sf =-(x-2)\\
\\
\sf |x-4|&\sf =-(x-4)\\
\end{align}
であるから、
\begin{align}
\sf |x-2|+|x-4|&\sf =3\\
\\
\sf -x+2-x+4&\sf =3\\
\\
\sf -2x+6&\sf =3\\
\\
\sf x&\sf =\frac{3}{2} \qquad⭕\sf （条件 x<2を満たす）
\end{align}
② 2 ≦ x < 4 のとき
\begin{align}
\sf |x-2|&\sf =x-2\\
\\
\sf |x-4|&\sf =-(x-4)\\
\end{align}
であるから、
\begin{align}
\sf |x-2|+|x-4|&\sf =3\\
\\
\sf x-2-x+4&\sf =3\\
\\
\sf 2&\sf =3\qquad❌（成り立たない）
\end{align}
③ x ≧ 4 のとき
\begin{align}
\sf |x-2|&\sf =x-2\\
\\
\sf |x-4|&\sf =x+4\\
\end{align}
であるから、
\begin{align}
\sf |x-2|+|x-4|&\sf =3\\
\\
\sf x-2+x-4&\sf =3\\
\\
\sf 2x-6&\sf =3\\
\\
\sf x&\sf =\frac{9}{2}\qquad⭕（条件 x≧4を満たす）
\end{align}
答え： \(x=\dfrac{3}{2}，x=\dfrac{9}{2}\)
◆ 例題5：|x – 2| の絶対値記号を外しなさい【そのまま「場合分けして外す」問題】
これはズバリ、絶対値を「中身の符号」で場合分けして外すタイプです。
解答
\(|x-2| \ は\)
① \(x-2≧0 \ \ \ つまり、x≧2\ のとき\)
\begin{align}
\sf |x-2|=x-2\\
\end{align}
② \(x-2<0 \ \ \ つまり、x<2\ のとき\)
\begin{align}
\sf |x-2|&\sf =-(x-2)\\
\\
&\sf=-x+2
\end{align}
答え：
\begin{align}
\sf |x-2| \ は\ &\sf x≧2\ のとき、\ x-2\\
\\
&\sf x<2\ のとき、\ -x + 2
\end{align}
🎯 まとめ｜絶対値の外し方は「中身が正か負か」がカギ！
絶対値を外すとき、場合分けが必要になるのは次のようなとき！
- 定数との式（例：|x – 2| = 5） → 場合分け不要
- 文字式との式（例：|x – 2| = x + 5） → 場合分け必要
- 絶対値が2個以上ある式（例：|x – 2| + |x – 4|） → 境目で3区間に分ける
- 絶対値を外すだけの問題（例：|x – 2| を外せ） → 定義通りに場合分け！
📝 よくある質問（FAQ）
Q1. 絶対値の中に 2x や -x があるときも場合分けが必要？
→ はい、必要です。符号の変わり目（0になる点）を見つけて、x の範囲で場合分けしましょう。
Q2. 場合分けの数はどう決まるの？
→ 絶対値の中が0になる点を見つけて、それを区切りに範囲を分けていきます。
例えば、|x – 2| + |x – 4| なら x = 2, x = 4 が境目 で 3つの区間に分けます。
✏️ おわりに
場合分けはちょっと面倒に感じるかもしれませんが、慣れるとルールに沿ってサクサク解けるようになります！
「絶対値 外し方」「絶対値 場合分け 高校数学」といった検索でこの記事にたどり着いた方も、この記事でスッキリ理解できたら嬉しいです！
📘他にも、数学の苦手をゼロにする記事をたくさん書いているので、ぜひ【じゃがいも先生の数学畑】をチェックしてみてください！
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