なぜk倍して足す？2つの円の交点と方程式の関係

こんにちは、数学畑の住人「じゃがいも先生」です！

今回は、高校数学でよく出てくるけれど、「なんでそうなるの？」と疑問に思いやすいテーマを取り上げます。

【高校数学】2つの円の交点にkが出てくる理由とは？

▶ 【結論】kは連立方程式の発想から生まれる！

中学校で習った「連立方程式」の応用だと思えば、実は難しくありません！

円で考える前に、まずは2つの直線からスタートしましょう。

【例題1】2直線の交点を連立方程式で求めよう

問題：
直線 \(l:\sf 2x-y-3=0\) と、直線 \(m:\sf x+2y-4=0\)の交点の座標を求めなさい。

解答：
２直線の交点は連立方程式
\begin{align}
\begin{cases}
&\sf 2x-y-3&\sf=&\sf 0&・・・&\sf ①\\
\\
&\sf x+2y-4&\sf=&\sf 0&・・・&\sf ② \\
\end{cases}
\end{align}
の解に等しいので、
①×２＋②より
\begin{array}{rrrrrr}
&\sf 4x&\sf -&\sf 2y&\sf -&\sf 6&\sf =&\sf 0\\
+)&\sf x&+&\sf 2y&-&\sf 4&=&\sf 0
\\
\hline &\sf 5x&&&-&\sf 10&=&\sf 0
\end{array}
よって、\(\sf x=2\)，\(\sf y=-1\)
つまり、交点の座標は 点\(\sf (x,y)=(2,-1)\)

連立方程式の計算を書き換えてみよう

\begin{align}
\begin{cases}
&\sf 2x-y-3&\sf=&\sf 0&・・・&\sf ①\\
\\
&\sf x+2y-4&\sf=&\sf 0&・・・&\sf ② \\
\end{cases}
\end{align}
①×２＋②より
\begin{array}{rrrrrr}
&\sf 4x-2y-6&=&\sf 0\\
+)&\sf x+2y-4&=&\sf 0
\\
\hline &\sf 5x-10&=&\sf 0
\end{array}
の部分は、書き換えると
\begin{array}{rrrrrr}
&\sf 2\left(2x-y-3\right)&\sf =&\sf 0\\
+)&\sf x+2y-4&\sf =&\sf 0\\
\hline &\sf 2(2x-y-3)+(x+2y-4)&\sf =&\sf 0
\end{array}
と表すことができますね。

【ポイント解説】なぜ式をk倍して足してもOKなの？

連立方程式では、式を何倍しても、解そのものは変わらないのです。

つまり：

・直線 \(l: \sf 2x-y-3=0\) ・・・ ①
・直線 \(m: \sf x+2y-4=0\) ・・・ ②
・\(\sf 2\left(2x-y-3\right)+\left(x+2y-4\right)=0\)

はすべて、同じ点 \(\left(\sf2,-1\right)\) を通ります。

①の式を３倍や４倍にして計算を進めても、連立方程式の解（２直線の交点の座標）は変わりませんね。
①×３＋② や ①×４＋②だと、\(\sf x\) と \(\sf y\) の両方が消えずに残るので、直線を表す方程式となりますが、 その直線も点 \(\sf(2,-1)\) を通ります。

よって、

\(\sf k(2x-y-3)+(x+2y-4)=0\) は２直線の交点 \(\left(\sf2,-1\right)\) を通る直線を表す

と言えますね。

ここで出てくる k は、
・式を何倍しても解が変わらないという性質を使って
・「ある交点を通る別の式」を作るために使っている
というわけです！

【例題2】交点を通る円の方程式とkの使い方

問題：
２つの円 \(\sf x^2+y^2-10=0\) …① と \(\sf x^2+y^2-4x-2y=0\) …② の交点を通る円の方程式を求めよ。

▶ ステップ1：2円の交点を導くには引き算！

①ー②から

\begin{array}{rrrrrr}
&\sf x^2&+&\sf y^2&&& &&-&\sf 10 &=&\sf 0\\
-)&\sf x^2&\sf +&\sf y^2&\sf -&\sf 4x&\sf -&\sf 2y &&&=&\sf 0
\\
\hline &&&&&\sf 4x&+&\sf 2y &-&\sf 10&=&\sf 0
\end{array}

つまり、２つの円の交点は
直線 \(\sf 2x+y-5=0\) 上にある。

このことから、円①と円②をk倍して足すことで、交点を通る円が作れることになります！

▶ ステップ2：式をk倍して足してみよう！

①×\(\sf k\)＋②から、

\(\sf k\left(x^2+y^2-10\right)+\left(x^2+y^2-4x-2y\right)=0\)

整理すると、

\(\sf \left(k+1\right)\left(x^2+y^2\right)-4x-2y-10k=0\)

これは、kによっていろんな円ができる方程式です。（\(k≠1\) のとき）

でもすごいのは
どんなkの値でも、必ず2つの円の交点を通る図形になること！
なぜなら、①と、②の円の式を連立させているから！

【まとめ】なぜ交点を通る式でkを使うのか？

▶ Point（結論）

「k倍して足す」ことで、2つの方程式の共通解（交点）を通る別の式ができる！

▶ Reason（理由）

中学で習った「連立方程式」の考え方と同じで、
式を何倍しても、その解は変わらない。 →だから「k倍して足す」という操作が有効！

▶ Example（例）

• 直線の交点：k(直線①) + 直線② = 0 で、交点を通る直線が作れる。
• 円の交点：k(円①) + 円② = 0 で、交点を通る別の円が作れる。

▶ Point（もう一度）

「2つの式の共通点を通る式」＝「k倍して足した式」！

だから、交点を通る直線・円の方程式では、「k」がよく登場するのです。

△ じゃがいも先生からひとこと

この「k倍して足す」考え方は、ベクトルや空間図形にも応用できます。
「同じ点を通る式を作る技術」だと思って、しっかり理解しておきましょう！

それではまた次回の授業でお会いしましょう～！

（「じゃがいも先生の数学畑」では、高校数学の「なんでそうなるの？」をやさしく解説中！）