三角比で、よく見かける3つの重要な公式。
三角比の相互関係
1. \(\displaystyle\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
2. \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
3. \(\displaystyle\tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}\)
公式はただ覚えるだけではなく、「なぜ成り立つのか？」を理解することが大切です。
今回は、この公式をスッキリ理解できるよう、順を追って解説していきます！
どうして成り立つのかを知っておけば、忘れたときにも役立つね！
まずは三角比のおさらい
三角比とは、直角三角形の辺の比率のことでした。
右の直角三角形で
\(\sin\theta\) ，\(\cos\theta\)，\(\tan\theta\) は
それぞれ
\(\displaystyle\sin\theta=\frac{a}{c}\) ，\(\displaystyle\cos\theta=\frac{b}{c}\) ，\(\displaystyle\tan\theta=\frac{a}{b}\)
これをもとに、三角比の相互関係を順番に考えていきましょう！
1. タンジェント（tan𝜃）の公式はなぜ成り立つ？
上の”三角比”を使えば、簡単に証明できますよ！
\( \displaystyle \sin{\theta}=\frac{a}{c} \) ，\( \displaystyle \cos\theta=\frac{b}{c} \) から
\(
%等号をそろえるためにbegin{eqnarray*}と&=&を使用。 *は右端の…(1)などの式番号を消すため。 begin{eqnarray*}を使うときは￥（なくてもOK。
\begin{eqnarray*}
\displaystyle
{\sin\theta}\div{\cos\theta}&=&{\frac{a}{c}}\div{\frac{b}{c}}\\
&=&\frac{a}{\cancel{c}}\times\frac{\cancel{c}}{b}\\
&=&\frac{a}{b}
\end{eqnarray*}
\)
また、\(\displaystyle\tan\theta=\frac{a}{b}\) であるから、
\(
\displaystyle
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\)
2. サインとコサインの関係を証明する
三平方の定理を使って考えます！
三平方の定理から、
\(
\displaystyle
a^2+b^2=c^2
\)
両辺を \(c^2\) で割ると、
\(
\displaystyle
\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1
\)
つまり、
\(
\displaystyle
\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1
\) ・・・ ①
ここで、\( \displaystyle \sin{\theta}=\frac{a}{c} \) ，\( \displaystyle \cos\theta=\frac{b}{c} \) から
\(
\displaystyle
\sin^2{\theta}=\left(\frac{a}{c}\right)^2
\) ，\(
\displaystyle
\cos^2\theta=\left(\frac{b}{c}\right)^2
\) ・・・ ②
①、②から、
\(
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
\)
3. タンジェントとコサインの関係を証明する
サインとコサインの関係を変形すれば簡単に証明できます！
上の2. で導いた
\(
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
\)
の両辺を \(\cos^2\theta\) で割ると…
\(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\frac{1}{\cos^2\theta}\)
ここで、
\(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\tan^2\theta\)
なので、整理すると
\(\displaystyle\tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}\)
これで証明完了です！
にんじん君この流れを理解していれば、暗記は不要ですね！
まとめ
今回のポイントは次の3つ！
- タンジェントの公式は、三角比の式を変形すれば導ける！
- サインとコサインの関係は、三平方の定理から導ける！
- タンジェントとコサインの関係は、サインとコサインの関係を変形すれば導ける！
このように、一つ一つ理屈を理解すれば、暗記しなくても公式を導くことができます。
数学が苦手な人も、公式の背景をしっかり押さえておけば、試験で焦ることがなくなりますね！
「なんでこうなるの？」を考えるクセをつけると、数学がもっと楽しくなりますよ！
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