「解なし」なのに答えは「すべての実数」？２次不等式をやさしく解説！

こんにちは！じゃがいも先生です🥔✨

２次不等式を解いているとき、こんな経験はありませんか？

\(x^2-2x+5=0\)　を解いたら
\(x=1\pm\sqrt{-4}\)　や、\(D=-4<0\)　
答えは「解なし」だ！
と思って、答えを見ると「すべての実数」になっている。

えっ？解なしなのに、すべての実数？？
今回はこの「矛盾してるようで矛盾してない」理由を、グラフを使ってやさしく説明します！

【結論】「解なし」でも「すべての実数」になるのは“意味が違う”から！

👉「解なし」でも「すべての実数」となるのは、考えている問題が違うからなんです。
つまり、「方程式の解なし」と「不等式の解なし」は意味が違うのです。

【理由】解の公式や判別式の「解なし」は“グラフとx軸が交わらない”こと

まず、解の公式や判別式\(D\)で出てくる「解なし」は、
グラフとx軸が交わらないことを表しています。

たとえば、\(y=x^2+6x+8\) が
\(x\)軸がぶつかる点を求めるには \(x^2+6x+8=0\) を解きます。
\begin{align}
&x^2+6x+8&=0\\
\\
&(x-2)(x-4)&=0\\
\\
&よって、x=2,4
\end{align}
この２つの点が、グラフとx軸が交わる場所です。

では、今回の問題

\(x^2-2x+5=0\)

を考えてみましょう。
これを解いて出てくる、「解なし」は
グラフと \(y=0\) つまり \(x\) 軸が「ぶつからない」ということ。
つまり、

解の公式や判別式の「解なし」…x軸と交点がない。

という意味なんです。

【例題】グラフで見る「解なし」と「すべての実数」の違い

ではここからが本題です。
「不等式」では、この“ぶつからない”グラフをどう考えるのでしょうか？

ケース①：＞0のときは「すべての実数」になる理由

２次不等式　\(x^2-2x+5>0\)　

２次不等式　\(x^2-2x+5＞0\)　では
グラフ \(y=x^2-2x+5\) が、\(y=0\)（\(x\)軸）より大きく（＞0）なるときの \(x\) について考えます。

グラフ \(y=x^2-2x+5\) は、x軸よりずっと上にあります。
x軸とぶつかっていない…常にy>0ということ。

だから、この不等式を満たす \(x\) は

✅ すべての実数

となります。
つまり「 \(x\) がどんな値でも、\(y\) は \(0\) より大きい」のです。

ケース②：＜0のときは「実数解なし」になる理由

２次不等式　\(x^2-2x+5＜0\)　

今度は不等号の向きが逆。
「グラフがx軸より下にあるとき」を探します。

でも、このグラフはx軸にすら触れません。
ずっと上を通っているので、yが0より小さくなることは一度もありません。

❌ そんなxは存在しない（実数解なし）

となるわけです。

【まとめ】２次不等式では「=」「＞」「＜」で答えが変わる！

ここまでの内容を整理すると…

式	考えていること	答え
\(x^2-2x+5=0\)	グラフとx軸がぶつかるときのx	解なし
\(x^2-2x+5＞0\)	グラフがx軸より上になるx	すべての実数
\(x^2-2x+5＜0\)	グラフがx軸より下になるx	解なし

つまり、同じ式でも「=」「＞」「＜」で結果がまったく変わるのです。

【会話で復習】「解なし」と「すべての実数」はどう違う？

【ポイント整理】「グラフとx軸の関係」をイメージすれば迷わない！

２次不等式を解くときは、

「グラフとx軸の関係」をイメージするのがポイントです🌾

「解なし」と見えても、もしかしたらそれは**“常に正しい”不等式**かもしれません。
ぜひグラフを描いて、確かめてみてくださいね！